Sur la L−cohomologie des variétés à courbure négative
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We give a topological interpretation of the space of L-harmonic forms of finite-volume manifolds with sufficiently pinched negative curvature. We give examples showing that this interpretation fails if the curvature is not sufficiently pinched. The method used applies to other situations, e.g. asymptotically complex hyperbolic manifolds, or harmonic forms with weights. Résumé Nous donnons une interprétation topologique des espaces de formes harmoniques L des variétés de volume fini, à courbure négative suffisamment pincée. Nous donnons des exemples montrant que cette interprétation n’est plus valable si la courbure n’est pas suffisamment pincée. La méthode utilisée s’applique à d’autres cas, comme aux variétés asymptotiquement hyperboliques complexes ou à des cas de formes harmoniques à poids. Introduction Soit (Mn, g) une variété riemannienne complète. On note Hk(M) l’espace des k−formes harmoniques L2 de M , c’est-à-dire celles qui sont de carré intégrable, fermées et cofermées. Lorsque M est compacte, on sait, grâce au théorème de Hodge-de Rham, que cet espace est de dimension finie, et isomorphe à la cohomologie réelle de M . Quand M est non compacte, ce que nous supposerons toujours dans la suite, il est naturel de se demander ce qui subsiste de ce résultat : est-ce que l’espace Hk(M) est de dimension finie, et si oui peut-on en donner une interprétation topologique ? Par exemple, d’après J. Lott [L3], si M est une variété complète de volume fini, à courbure sectionnelleK négative et pincée (i.e. il existe des réels 0 < a ≤ b, avec −b2 ≤ K ≤ −a2), alors tous ses espaces de formes harmoniques sont de dimension finie. De plus, J. Lott a fait la conjecture suivante (MSRI, printemps 2001) : Conjecture Soit (Mn, g) une variété riemannienne complète de dimension
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تاریخ انتشار 2002